Cykliczność wskaźników makroekonomicznych

Fragmenty specjalistyczne oraz zawierające analizę z wykorzystaniem zaawansowanej matematyki są zaznaczone czerwonym kolorem tła.

Gospodarka kapitalistyczna w krajach rozwiniętych charakteryzuje się cyklicznością. Po okresie wzmożonego rozwoju przychodzi czas zmniejszonej aktywności gospodarczej. ^[1] Wraz z całą gospodarką zmianom ulega większość wskaźników makroekonomicznych, które od czasu II wojny światowej można nazwać cyklicznie rosnącymi.

Wykres powyżej pokazuje PKB per capita przeliczone na dzisiejsze dolary dla całego świata. W związku z tym, że zostały w nim ujęte wszystkie państwa, cykliczność jest w małym stopniu widoczna. Warto zauważyć, że im później, tym większe korekty wynikające z ochłodzenia koniunktury. Wynika to z ogólnego rozwoju gospodarki, oraz dążenia krajów rozwijających się do dogonienia rozwiniętych.

W krajach rozwiniętych występują większe fluktuacje niż choćby w Polsce. Do dnia dzisiejszego nie pojawiła się żadna przekonująca teoria wyjaśniająca powstawanie takich cykli.

Z punktu widzenia analizy fundamentalnej, kluczową informacją jest określenie, choćby w przybliżeniu, w jakiej fazie cyklu znajduje się obecnie gospodarka i kiedy ta faza może się skończyć. W modelowaniu wahań należy uwzględnić takie rzeczy jak sezonowość, oczekiwanie wzrostu, oraz wzajemne interakcje czynników, o których szerzej można przeczytać w artykułach dotyczących konkretnych wskaźników. Ocena stanu gospodarki, a więc też estymacja fazy cyklu, mogą być przeprowadzone poprzez analizę makroekonomicznych szeregów czasowych.

Szereg czasowy jest obserwacją procesu stochastycznego w stałych odstępach czasu, np. co miesiąc, co kwartał. W Polsce, ze względu na dość młodą gospodarkę rynkową, obserwacja kwartalna może dostarczać niewystarczającą liczbę prób. Na podstawie analizy parametrów szeregu można wnioskować o parametrach procesu, który ten szereg opisuje. Tzw. szeregi czasowe okresowo skorelowane to szeregi o okresie T, dla których dla każdego \tau\in\mathbb{Z}, funkcje \mu(t) i B(t, \tau) są funkcjami okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t z okresem równym T. ^[2] Przypomnijmy zatem definicję funkcji okresowej: jest to taka funkcja, że istnieje taka liczba T\neq0, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba x+T należy do dziedziny tej funkcji, oraz zachodzi f(x+T)=f(x), gdzie T jest okresem funkcji f. Analizę opiera się też na wynikach uzyskanych dla tzw. szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych, tzn. takich szeregów X_{t}:\in\mathbb{Z} dla których \tau\in\mathbb{Z} funkcje \mu(t) i B(t, \tau) są funkcjami prawie okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t. Z kolei funkcję nazywamy prawie okresową, jeżeli dla każdego \varepsilon>0 istnieje taka liczba M>0, że w każdym przedziale o długości M istnieje co najmniej jedna liczba T, dla której przy każdym x zachodzi nierówność |f(x+t)-f(x)|<\varepsilon.

Cechy cykli koniunkturalnych

Podstawową cechą cyklu jest jego cykliczność. Po okresie wzmożonego wzrostu gospodarczego następuje czas ochłodzenia, potem okres wzrostu, itd. Na jeden cykl składa się jeden okres wzrostu i jeden ochłodzenia (impuls i korekta, tak jak w fali Elliotta). Cykle mają zmienną długość ^[3], ale istnieją metody wyznaczenia długości obowiązującego cyklu, oraz punktu zwrotnego koniunktury. Oczywiście nie ma sposobu na obliczenie daty wybuchu wojny czy epidemii, dlatego trzeba brać pod uwagę, że obliczenia są prognozą a nie proroctwem i rzeczywiste wyniki mogą się od nich różnić. W koniunkturze dochodzi też do zmian sezonowych, oraz takich, dla których nie można w ogóle wyznaczyć cyklu.

Jak wynika z powyższego, w cyklach występują tzw. punkty zwrotne. Punkt zwrotny najbardziej interesuje traderów, ponieważ jest to chwila, w której koniunktura zmienia kierunek. Znajomość zagadnienia i umiejętność przewidzenia tzw. peaku, czyli zmiany tendencji z rozwoju na stagnację, pozwala na zamknięcie pozycji długich w najlepszym możliwym momencie. Analogicznie jest z punktem zwrotnym ze stagnacji w stronę rozwoju i pozycjami krótkimi. Punkty zwrotne można też zaobserwować w notowaniach instrumentów finansowych. Są one w pewnym stopniu skorelowane z punktami zwrotnymi cykli koniunkturalnych. Dokładne obliczenie ceny w której kurs zawróci jest szczególnie trudne, gdy następuje ATH lub ATL, ponieważ nie ma następnego poziomu oporu lub wsparcia.

Cykl koniunkturalny ma też swoją amplitudę, czyli różnicę pomiędzy poziomami punktów zwrotnych. Jest ona oczywiście zmienna w czasie, tak jak w funkcji prawie okresowej, właściwej do opisu cyklu. Większa amplituda cyklu występuje w krajach wysoko rozwiniętych, na przykład wahanie PKB per capita w Australii było większe niż wartość całej polskiej gospodarki w takim samym przeliczeniu.

Istotną cechą cyklu jest asymetria^[4], której zrozumienie ma duże znaczenie dla tradera. Strategie handlowe, które są symetryczne, nie będą działały w dłuższej perspektywie na asymetrycznym rynku. Gdyby tak było, wystarczyłaby symetryczna strategia MACD Sample wbudowana w MT4, aby zarabiać miliony. Okres rozwoju jest jednak zwykle dłuższy od okresu stagnacji (ponownie można się tu odwołać do elliottowskiej teorii fal).

Identyfikacja cykli koniunkturalnych

Jak już mówiłem, by dokonać identyfikacji cyklu, należy oczywiście najpierw wyeliminować czynniki zniekształcające, tzn. wahania sezonowe, oczekiwanie wzrostu (trend), oraz interakcje między wskaźnikami. Zmiany sezonowe są z reguły łatwe do wyodrębnienia, ponieważ są funkcją o stałym okresie i raczej zbliżonej amplitudzie. Oczywiście pojawiają się zakłócenia, na przykład przez suszę w lecie, albo srogą zimę, dlatego operacja odseparowania sezonowości może nie być łatwa.

Odsezonowanie danych

Filtrację czynników sezonowych można przeprowadzić za pomocą kilku dostępnych metod oraz programu Demetra+ udostępnianego na wolnej licencji przez Eurostat.

• X-11 używa podwójnych średnich ruchomych M_{m\times p}(X_t) rzędu (m+p-1) dla m, n \in N:
  
  M_{(2k+1)\times(2n+1)}(X_t)=\frac{1}{2k+1}\sum\limits_{j=-k}^{k}S_{t+12j}^{2n+1}, gdzie S_{t}^{2n+1}=\frac{1}{2n+1}\sum\limits_{j=-n}^{n}X_{t+12j} dla nieparzystych m i p.
  M_{2k\times 2n}(X_t)=\frac{1}{2k}\sum\limits_{j=-k+1}{k-1}S_{t+12j}^{2n}, gdzie S_{t}^{2n}=\frac{1}{2n}\sum\limits_{j=-n+1}^{n-1}X_{t+12j} dla parzystych m i p.
  
  Ekstrakcja czynnika sezonowego odbywa się poprzez wstępną estymację składników szeregu za pomocą średniej M_{2\times12}, przy czym składnik SI (Seasonal-Irregular) wynosi różnicę między szeregiem X_{t}, a pierwszym oszacowaniem składnika TC (Trend-Cycle). Oddzielenie składnika sezonowego następuje z kolei poprzez zastosowanie średniej M_{3\times3}. Otrzymany szereg zostaje wygładzony jako A_{t}^{(1)}=(C_t+I_t)^{(1)}=X_t-S_t^{(1)}. Kolejnym krokiem jest estymacja wahań S i ostatecznej postaci T za pomocą filtru Hendersona:
  TC=H_{13}(A_{t}^{(1)})
  SI=X_t - TC
  S jest szacowany jako średnia ruchoma SI, a następnie poddany normalizacji, podobnie jak wcześniej składnik TC.
  Powyższa metoda jest stosowana ze względu na swoją prostotę, mimo bycia metodą ad hoc, czyli zakładając, że każdy szereg jest rozkładalny na składniki T, C, S oraz I za pomocą tej samej procedury. Dodatkowo, metoda eliminuje wszystkie komponenty niesymetryczne. Ze względu na ograniczoną liczbę dostępnych filtrów, X-11 nie nadaje się do operacji odsezonowania danych o niestabilnych wahaniach.
  
• X-11-ARIMA umożliwia dokładniejsze modelowanie od poprzedniej metody. Nowe dane nie mają tak dużego wpływu na wyniki już obliczone (w żargonie traderskim można by powiedzieć, że wskaźnik nie repaintuje). Model ARIMA (ang. AutoRegressive Integrated Moving Average) pozwala na ekstrapolację szeregu w obie strony, dzięki czemu filtry mogą być stosowane na całej jego długości. Jest to jedna z bardziej efektywnych metod służących prognozowaniu szeregów^[5]. Sam model składa się z trzech parametrów: autoregresyjnego (p), rzędu różnicowania (d) oraz średniej ruchomej (q).
  
  Parametr p określa rząd autoregresji, czyli to, ile poprzednich wartości ma wpływ na wartość bieżącą. W procesie autoregresyjnym, każda kolejna wartość jest kombinacją poprzednich wartości. Proces AR(p) można przedstawić jako:
  
  y_t=\varphi_1 y_{t-1}+\varphi_2 y_{t-2}+ ... + \varphi_i y_{t-p}+\varepsilon_t
  
  gdzie \varphi_i to oszacowana wartość wpływu elementu i na wartość bieżącą, natomiast \varepsilon_t jest zaburzeniem w momencie t.
  
  Parametr q określa rząd procesu średniej ruchomej. Jest on podobny do autoregresji, ponieważ zakłada, że obecna wartość szeregu zależy od zaburzeń w chwili obecnej oraz w chwilach poprzednich. Proces można zapisać jako:
  
  y_t=\beta_i \varepsilon_{t-1}+\beta_i \varepsilon_{t-2}+ ... + \beta_i \varepsilon_{t-q}
  
  gdzie \beta_i to oszacowana wartość wpływu i-tego zaburzenia na wartość bieżącą, natomiast \varepsilon_t jest zaburzeniem w momencie t.
  
  Parametr d określa rząd różnicowania. Różnicowanie polega na obliczeniu różnic \delta_t między kolejnymi wartościami. Różnicowanie drugiego rzędu to obliczanie różnic między różnicami, itd.
  
  Łącząc te trzy parametry otrzymujemy model ARIMA(p, d, q), który pozwala na rozszerzenie ciągu, który następnie poddajemy odsezonowaniu metodą X-11.
  
• X-12-ARIMA jest rozwinięciem metody X-11-ARIMA^[6]. Szereg jest wstępnie estymowany przed zasadniczym odsezonowaniem, dzięki temu możliwe jest dokonanie tej operacji nawet na danych o nieregularnych wahaniach. Proces odbywa się za pomocą modelu regARIMA, którego ogólną postać można przedstawić następująco:
  
  \varphi(L)\cdot\Phi(L^S)\cdot(1-L)^d\cdot(1-L^S)^D\cdot z_t=\theta(L)\cdot\Theta(L^S)\cdot a_t
  
  gdzie:
  – L – operator opóźnień zdefiniowany jako Lz_t=z_{t-1};
  – S – okres wahań sezonowych;
  – \varphi(L) – wielomian względem operatora opóźnień związany z niesezonową autoregresyjną częścią modelu;
  – \Phi(L^S) – wielomian odpowiedzialny za sezonową autoregresyjną część modelu;
  – \theta(L) – niesezonowa część modelu w postaci średniej ruchomej;
  – \Theta(L^S) – sezonowa część modelu w postaci średniej ruchomej;
  – a_t – niepodlegający autokorelacji składnik losowy o zerowej wartości oczekiwanej i stałej wariancji;
  – (1-L)^d\cdot(1-L^S)^D\cdot z_t – d-krotne wyznaczenie pierwszych przyrostów z_t oraz D-krotne wyznaczenie przyrostów w stosunku do analogicznego okresu poprzedniego roku.
  
  Taki model oznacza się jako ARIMA(p, d, q), (P, D, Q), gdzie (p, d, q) to parametry niesezonowej, a (P, D, Q) sezonowej jego części.
  
  Kolejne kroki przebiegają analogicznie jak w metodzie X-11.
  
• TRAMO/SEATS składa się z dwóch części: TRAMO (Time series Regression with Arima noise, Missing values, and Outliers) i SEATS (Signal Extraction in Arima Time Series). Procedura TRAMO ma na celu przeprowadzenie estymacji, podobnie jak w metodzie X-12-ARIMA, oraz dodatkowo interpolacji szeregu o elementy brakujące, a także eliminację błędów i różnych nietypowych wartości, spowodowanych na przykład świętami ruchomymi. Na początku jest wybierany odpowiedni model ARIMA(p, d, q), (P, D, Q). Usuwane są wspomniane obserwacje nietypowe i tak przygotowany szereg zostaje poddany drugiej części procesu, czyli SEATS. SEATS estymuje składniki szeregu w sposób analogiczny jak robi to metoda X-12-ARIMA. Otrzymane komponenty są rozszerzane w obie strony oraz stosowany jest na nich filtr. Następnie procedura analizuje rewizje jakim podlega estymator w miarę zwiększania długości próby oraz „dokleja” odfiltrowane zniekształcenia nietypowe.

Badanie okresowości i prawie okresowości

Przygotowane i odsezonowane dane można poddać badaniu okresowości.

Załóżmy, że dla harmonizowalnego szeregu czasowego \{X_t : t \in \mathbb{Z}\} dla dowolnego x\in[0,2) istnieją:
– stała B(x) taka, że \sum\limits_{\psi\in\Psi \ {x}}|m(\psi)cosec(\frac{\psi-x}{2})|<B(x)<\infty
– ciąg rzeczywisty \{z_r(x)\}_{r \in \mathbb{Z}} taki, że \sum\limits_{\lambda\in\Lambda_\tau\backslash\{x\}} | a(\lambda,\tau)cosec(\frac{\lambda-x}{2})|<z_\tau(x)<\infty, \tau\in \mathbb{Z} i z_\tau(x)\to 0 dla |\tau|\to\infty
– stałe \delta>0, \Delta<\infty oraz K<\infty, dla których ||X(t)||_{2+\delta}\leq\Delta i \sum\limits_{k=0}^{\infty}\alpha(k)^{\frac{\delta}{2+\delta}}\leq K
oraz że dla dowolnego \xi\in[0,2\pi) zachodzi g_0(\xi)>0
oraz że macierz \Omega(\psi) jest dodatnio określona dla m(\psi)\neq0.
Wtedy zachodzi:
– L_{n,b}^{\{\psi\}}(x)\to^pJ^{\{\psi\}}(x) dla dowolnego x\in\mathbb{R}
– sup_{x\in\mathbb{R}}|L_{n,b}^{\{\psi\}}(x) - J^{\{\psi\}}(x)| \xrightarrow{p} 0
oraz podpróbkowe przedziały ufności dla |m(\psi)| są zgodne. Zatem:
P(\sqrt{n}(|\hat{m}_n (\psi)|-|m(\psi)|)\leq c^{\{\psi\}}_{n,b}(1-\alpha))\to1-\alpha, gdzie b=b(n)\to\infty oraz b/n\to0.

Na podstawie takich badań wyciągnięto wniosek, że w Polsce cykl koniunkturalny trwa zwykle ok. 4 lata^[7].

Cykliczność wskaźników i ich wzajemny wpływ na siebie

Wskaźniki makroekonomiczne podlegające wahaniom cyklicznym dzielą się na trzy grupy: wyprzedzające, jednoczesne i opóźnione, w zależności od stosunku do punktu zwrotnego cyklu.

^[1] R. Barczyk, L. Kąsek, M. Lubiński, K. Marczewski – Nowe oblicza cyklu koniunkturalnego (2006).
^[2] E. G. Gladyshev – Periodically correlated random sequance (1961).
^[3] V. Zarnowitz – Business cycles, theory, history, indicators and forecasting (1992).
^[4] J. Keynes – The general theory of employment, interest and money (1936).
^[5] E. P. Box, G. M. Jenkins, Szeregi czasowe – analiza i prognozowanie (1983).
^[6] D. F. Findley, B. C. Monsell, W. R. Bell, M. C. Otto, B. C. Chen – New Capabilities and Methods of the X-12-ARIMA Seasonal Adjustment Program (1998).
^[7] Z. Wośko – Czy filtry liniowe są przydatnym narzędziem badania koniunktury? Analiza spektralna na przykładzie ankietowych wskaźników koniunktury (2009)